Что такое высказывание какие они бывают. Что такое высказывание? Темы, цели и виды высказываний

0 Сегодня, в этот погожий денёк, решил обсудить одно слово, которое у многих вызывает недоумение, это Афоризм , что значит, вы можете прочесть немного ниже. Кроме того, на нашем сайте сайт, вы можете обнаружить множество небольших статей по расшифровке малоупотребительных или жаргонных словечек.
Однако, прежде чем продолжить, мне бы хотелось порекомендовать вам ещё парочку любопытных новостей на тематику фразеологизмов . Например, что значит Не писай в рюмку ; смысл выражения Чужую беду разведу руками ; перевод Do ut des ; что означает Лучше синица в руке, чем журавль в небе и т. п.
Итак, продолжим, что значит Афоризм ? Этот термин был заимствован с греческого языка, и переводится, как "определение".

Афоризм - это легко запоминающееся, чёткое определение законченной мысли, впоследствии неоднократно употребляемое людьми в своей повседневной речи. Порой афоризмами становятся отдельные фразы из фильмов или книг

Афоризм - это сочетание слов, произнесённых когда-то поэтами и писателями, и в которых заключён особый, глубокий смысл

Со временем люди всё больше узнают о жизни, в следствии чего им начинают нравится всё более, и более сложные афоризмы, и используют их периодически, если представляется такой случай.

Существуют афоризмы, которые обучают любовным премудростям, например "Любовь – как благодать. Ее невозможно приманить добрыми делами. Нельзя заслужить. Она или есть, или ее нет ".

Кроме того, довольно популярны афоризмы, которые учат жизни, например, Чарли Чаплин однажды сказал весьма толковую фразу, и она впоследствии стала крылатой, "Жизнь - это лишь проявление желаний, и никто никогда не бывает ею удовлетворен ".
Это и на самом деле так и есть, человек никогда не останавливается на достигнутом, он стремиться получить всё больше и больше. Когда он покупает велосипед, то тут же начинает мечтать о мотоцикле, после приобретения двухколёсного "тырчика", он уже изъявляет желание стать автолюбителем. Так может продолжаться вечно .

Наряду с афоризмами , которые учат премудростям жизни, имеются афоризмы о дружбе и предательстве; о войне и о мире; о смерти и о рождении; о любви и о ненависти и т. п.
Кроме того довольно популярны крылатые выражения о детях, мужчинах и женщинах, бабушках и дедушках и т. п.

Примеры Афоризмов :

Бездарность легче прощают человеку, чем талант.

Знание - сила.

Каждый слышит только то, что он понимает.

Личный пример - не просто лучший метод убеждения, а единственный.

Даже плохие примеры полезны.

Виды высказываний

Логические высказывания принято подразделять на два вида: элементарные логические высказывания и составные логические высказывания.

Составное логическое высказывание - это высказывание, образованное из других высказываний с помощью логических связок.

Логическая связка - это любая логическая операция над высказыванием. Например, употребляемые в обычной речи слова и словосочетания «не», «и», «или», «если… , то», «тогда и только тогда» являются логическими связками.

Элементарные логические высказывания - это высказывания не относящиеся к составным.

Примеры: «Петров - врач», «Петров - шахматист» - элементарные логические высказывания. «Петров - врач и шахматист» - составное логическое высказывание, состоящие из двух элементарных высказываний, связанных между собой при помощи связки «и».

Связь с математической логикой

Обычная логика двухзначна, то есть приписывает высказываниям только два возможных значения: истинно оно или ложно .

Пусть - высказывание. Если оно истинно, то пишут , если ложно, то .

Основные операции над логическими высказываниями

Отрицание логического высказывания - логическое высказывание, принимающее значение «истинно», если исходное высказывание ложно, и наоборот.

Конъюнкция двух логических высказываний - логическое высказывание, истинное только тогда, когда они одновременно истинны.

Дизъюнкция двух логических высказываний - логическое высказывание, истинное только тогда, когда хотя бы одно из них истинно.

Импликация двух логических высказываний A и B - логическое высказывание, ложное только тогда, когда B ложно, а A истинно.

Равносильность (эквивалентность) двух логических высказываний - логическое высказывание, истинное только тогда, когда они одновременно истинны или ложны.

Кванторное всеобщности () - логическое высказывание, истинное только тогда, когда для каждого объекта x из заданной совокупности высказывание A(x) истинно.

Кванторное логическое высказывание с квантором существования () - логическое высказывание, истинное только тогда, когда в заданной совокупности существует объект x, такой, что высказывание A(x) истинно.

См. также

• Утверждение

Примечания

Литература

• Карпенко, А. С. Современные исследования в философской логике // Логические исследования. Вып. 10. - М.: Наука, 2003. ISBN 5-02-006257-X - С. 61-93.
• Крипке, С. А. Витгенштейн о правилах и индивидуальном языке / Пер. В. А. Ладова, В. А. Суровцева. Под общ. ред. В. А. Суровцева. - Томск: Изд-во Том. ун-та, 2005. - 152 с. - (Библиотека аналитической философии). ISBN 5-7511-1906-1
• Курбатов, В. И. Логика. Систематический курс. - Ростов н/Д: Феникс, 2001. - 512 c. ISBN 5-222-01850-4
• Шуман, А. Н. Современная логика: теория и практика. - Минск: Экономпресс, 2004. - 416 с. ISBN 985-6479-35-5
• Макарова, Н. В. Информатика и ИКТ. - Санкт-Петербург: Питер Пресс, 2007 ISBN 978-5-91180-198-4 - С. 343-345.
• Кондаков Н. И. Логический словарь / Горский Д. П.. - М .: Наука, 1971. - 656 с.

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Высказывание (логика)" в других словарях:

Высказывание: Высказывание (логика) предложение, которое может быть истинно или ложно. Высказывание (лингвистика) предложение в конкретной речевой ситуации. См. также Суждение … Википедия

- (от греч. logos слово, понятие, рассуждение, разум), или Формальная логика, наука о законах и операциях правильного мышления. Согласно основному принципу Л., правильность рассуждения (вывода) определяется только его логической формой, или… … Философская энциклопедия

Раздел логики, в котором изучаются истинностные взаимосвязи между высказываниями. В рамках данного раздела высказывания (пропозиции, предложения) рассматриваются только с т.зр. их истинности или ложности, безотносительно к их внутренней субъектно … Философская энциклопедия

логика высказываний - ЛОГИКА ВЫСКАЗЫВАНИЙ, пропозициональная логика раздел символической логики, изучающий сложные высказывания, образованные из простых, и их взаимоотношения. В отличие от логики предикатов, простые высказывания при этом выступают как… … Энциклопедия эпистемологии и философии науки

Грамматически правильное повествовательное предложение, взятое вместе с выражаемым им смыслом. В логике употребляется несколько понятий В., существенно различающихся между собой. Прежде всего это понятие дескриптивного, или о п и с а тельного,… … Философская энциклопедия

Логика Бэрроуза Абади Нидхэма (англ. Burrows Abadi Needham logic) или BAN логика (англ. BAN logic) это формальная логическая модель для анализа знания и доверия, широко используемая при анализе протоколов… … Википедия

Центральный раздел логики, в котором изучается субъектно предикатная структура высказывании и истинностные взаимосвязи между ними. Л.п. представляет собой содержательное расширение логики высказываний. В рамках данного раздела любое высказывание… … Философская энциклопедия

Или Логика науки, применение идей, методов и аппарата логики в анализе научного познания. Развитие логики всегда было тесно связано с практикой теоретического мышления и прежде всего с развитием науки. Конкретные рассуждения дают логике материал … Философская энциклопедия

Логика высказываний , называемая также пропозициональной логикой - раздел математики и логики, изучающий логические формы сложных высказываний, построенных из простых или элементарных высказываний с помощью логических операций.

Логика высказываний отвлекается от содержательной нагрузки высказываний и изучает их истинностное значение, то есть является ли высказывание истинным или ложным.

Рисунок сверху - иллюстрация явления, известного как "Парадокс лжеца". При этом, на взгляд автора проекта, такие парадоксы возможны только в средах, несвободных от политических заморочек, где на ком-то могут априори поставить клеймо лжеца. В естественном многослойном мире на предмет "истины" или "лжи" оцениваются только отдельно взятые высказывания . И далее на этом уроке вам представится возможность самим оценить на этот предмет немало высказываний (а затем посмотреть правильные ответы). В том числе сложных высказываний, в которых более простые связаны между собой знаками логических операций. Но прежде рассмотрим сами эти операции над высказываниями.

Логика высказываний применяется в информатике и программировании в виде объявления логических переменных и присвоения им логических значений "ложь" или "истина", от которых зависит ход дальнейшего исполнения программы. В небольших программах, где задействована лишь одна логическая переменная, этой логической переменной часто даётся имя, например, "флаг" ("flag") и подразумевается, что "флаг поднят", когда значение этой переменной - "истина" и "флаг опущен", когда значение этой переменной - "ложь". В программах большого объёма, в которых несколько или даже очень много логических переменных, от профессионалов требуется придумывать имена логических переменных, имеющих форму высказываний и смысловую нагрузку, отличающую их от других логических переменных и понятных другим профессионалам, которые будут читать текст этой программы.

Так, может быть объявлена логическая переменная с именем "ПользовательЗарегистрирован" (или его англоязычный аналог), имеющая форму высказывания, которой может быть присвоено логическое значение "истина" при выполнении условий, что данные для регистрации отправлены пользователем и эти данные программой признаны годными. В дальнейших вычислениях значения переменных могут меняться в зависимости от того, какое логическое значение ("истина" или "ложь") имеет переменная "ПользовательЗарегистрирован". В других случах переменной, например, с именем "ДоДняХОсталосьБолееТрёхДней", может быть присвоено значение "Истина" до некоторого блока вычислений, а в ходе дальнейшего исполнения программы это значение может сохраняться или меняться на "ложь" и от значения этой переменной зависит ход дальнейшего исполнения программы.

Если в программе используются несколько логических переменных, имена которых имеют форму высказываний, и из них строятся более сложные высказывания, то намного проще разрабатывать программу, если перед её разработкой записать все операции с высказываний в виде формул, применяемых в логике высказываний, чем мы в ходе этого урока и займёмся.

Логические операции над высказываниями

Для математических высказываний всегда можно сделать выбор между двумя различными альтернативами "истина" и "ложь", а для высказываний, сделанных на "словесном" языке, понятия "истинности" и "ложности" несколько более расплывчаты. Однако, например, такие словесные формы, как "Иди домой" и "Идёт ли дождь?", не являются высказываниями. Поэтому понятно, что высказываниями являются такие словесные формы, в которых что-либо утверждается . Не являются высказываниями вопросительные или восклицательные предложения, обращения, а также пожелания или требования. Их невозможно оценить значениями "истина" и "ложь".

Высказывания же, напротив, можно рассмотривать как величину, которая может принимать два значения: "истина" и "ложь".

Например, даны суждения: "собака - животное", "Париж - столица Италии", "3

Первое из этих высказываний может быть оценено символом "истина", второе - "ложь", третье - "истина" и четвёртое - "ложь". Такая трактовка высказываний составляет предмет алгебры высказываний. Будем обозначать высказывания большими латинскими буквами A , B , ..., а их значения, то есть истину и ложь, соответственно И и Л . В обычной речи употребляются связи между высказываниями "и", "или" и другие.

Эти связи позволяют, соединяя между собой различные высказывания, образовывать новые высказывания - сложные высказывания . Например, связка "и". Пусть даны высказывания: "π больше 3" и высказывание "π меньше 4". Можно организовывать новое - сложное высказывание "π больше 3 и π меньше 4". Высказывание "если π иррационально, то π ² тоже иррационально" получается связыванием двух высказываний связкой "если - то". Наконец, мы можем получить из какого-либо высказывания новое - сложное высказывание - отрицая первоначальное высказывание.

Рассматривая высказывания как величины, принимающие значения И и Л , мы определим далее логические операции над высказываниями , которые позволяют из данных высказываний получать новые - сложные высказывания.

Пусть даны два произвольных высказывания A и B .

1 . Первая логическая операция над этими высказываниями - конъюнкция - представляет собой образование нового высказывания, которое будем обозначать A ∧ B и которое истинно тогда и только тогда, когда A и B истинны. В обычной речи этой операции соответствует соединение высказываний связкой "и".

Таблица истинности для конъюнкции:

2 . Вторая логическая операция над высказываниями A и B - дизъюнкция, выражаемая в виде A ∨ B , определяется следующим образом: оно истинно тогда и только тогда, когда хотя бы одно из первоначальных высказываний истинно. В обычной речи эта операция соответствует соединению высказываний связкой "или". Однако здесь мы имеем не разделительное "или", которое понимается в смысле "либо-либо", когда A и B не могут быть оба истинны. В определении логики высказываний A ∨ B истинно и при истинности лишь одного из высказываний, и при истинности обоих высказываний A и B .

Таблица истинности для дизъюнкции:

3 . Третья логическая операция над высказываниями A и B , выражаемая в виде A → B ; полученное таким образом высказывание ложно тогда и только тогда, когда A истинно, а B ложно. A называется посылкой , B - следствием , а высказывание A → B - следованием , называемая также импликацией. В обычной речи эта операция соответствует связке "если - то": "если A , то B ". Но в определении логики высказываний это высказывание всегда истинно независимо от того, истинно или ложно высказывание B . Это обстоятельство можно кратко сформулировать так: "из ложного следует всё, что угодно". В свою очередь, если A истинно, а B ложно, то всё высказывание A → B ложно. Оно будет истинным тогда и только тогда, когда и A , и B истинны. Кратко это можно сформулировать так: "из истинного не может следовать ложное".

Таблица истинности для следования (импликации):

4 . Четвёртая логическая операция над высказываниями, точнее над одним высказыванием, называется отрицанием высказывания A и обозначается ~ A (можно встретить также употребление не символа ~, а символа ¬, а также верхнего надчёркивания над A ). ~ A есть высказывание, которое ложно, когда A истинно, и истинно, когда A ложно.

Таблица истинности для отрицания:

5 . И, наконец, пятая логическая операция над высказываниями называется эквивалентностью и обозначается A ↔ B . Полученное таким образом высказывание A ↔ B есть высказывание истинное тогда и только тогда, когда A и B оба истинны или оба ложны.

Таблица истинности для эквивалентности:

В большинстве языков программирования есть специальные символы для обозначения логических значений высказываний, записываются они почти во всех языках как true (истина) и false (ложь).

Подытожим вышесказанное. Логика высказываний изучает связи, которые полностью определяются тем, каким образом одни высказывания строятся из других, называемых элементарными. Элементарные высказывания при этом рассматриваются как целые, не разложимые на части.

Систематизируем в таблице ниже названия, обозначения и смысл логических операций над высказываниями (они нам вскоре вновь понадобятся для решения примеров).

Для логических операций верны законы алгебры логики , которые можно использовать для упрощения логических выражений. При этом следует отметить, что в логике высказываний отвлекаются от смыслового содержания высказывания и ограничиваются рассмотрением его с той позиции, что оно либо истинно, либо ложно.

Пример 1.

1) (2 = 2) И (7 = 7) ;

2) Не(15 ;

3) ("Сосна" = "Дуб") ИЛИ ("Вишня" = "Клён") ;

4) Не("Сосна" = "Дуб") ;

5) (Не(15 20) ;

6) ("Глаза даны, чтобы видеть") И ("Под третьим этажом находится второй этаж") ;

7) (6/2 = 3) ИЛИ (7*5 = 20) .

1) Значение высказывания в первых скобках равно "истина", значение выражения во вторых скобках - также истина. Оба высказывания соединены логической операцией "И" (смотрим правила для этой операции выше), поэтому логическое значение всего данного высказывания - "истина".

2) Значение высказывания в скобках - "ложь". Перед этим зтим высказыванием стоит логическая операция отрицания, поэтому логическое значение всего данного высказывания - "истина".

3) Значение высказывания в первых скобках - "ложь", значение высказывания во вторых скобках - также "ложь". Высказывания соединены логической операцией "ИЛИ" и ни одно из высказываний не имеет значения "истина". Поэтому логическое значение всего данного высказывания - "ложь".

4) Значение высказывания в скобках - "ложь". Перед этим высказыванием стоит логическая операция отрицания. Поэтому логическое значение всего данного высказывания - "истина".

5) В первых скобках отрицается высказывание во внутренних скобках. Это высказывание во внутренних скобках имеет значение "ложь", следовательно, его отрицание будет иметь логическое значение "истина". Высказывание во вторых скобках имеет значение "ложь". Два этих высказывания соединены логической операцией "И", то есть получается "истина И ложь". Следовательно, логическое значение всего данного высказывания - "ложь".

6) Значение высказывания в первых скобках - "истина", значение высказывания во вторых скобках - также "истина". Два этих высказывания соединены логической операцией "И", то есть получается "истина И истина". Следовательно, логическое значение всего данного высказывания - "истина".

7) Значение высказывания в первых скобках - "истина". Значение высказывания во вторых скобках - "ложь". Два этих высказывания соединены логической операцией "ИЛИ", то есть получается "истина ИЛИ ложь". Следовательно, логическое значение всего данного высказывания - "истина".

Пример 2. Запишите с помощью логических операций следующие сложные высказывания:

1) "Пользователь не зарегистрирован";

2) "Сегодня воскресенье и некоторые сотрудники находятся на работе";

3) "Пользователь зарегистрирован тогда и только тогда, когда отправленные пользователем данные признаны годными".

1) p - одиночное высказывание "Пользователь зарегистрирован", логическая операция: ;

2) p - одиночное высказывание "Сегодня воскресенье", q - "Некоторые сотрудники находятся на работе", логическая операция: ;

3) p - одиночное высказывание "Пользователь зарегистрирован", q - "Отправленные пользователем данные признаны годными", логическая операция: .

Решить примеры на логику высказываний самостоятельно, а затем посмотреть решения

Пример 3. Вычислите логические значения следующих высказываний:

1) ("В минуте 70 секунд") ИЛИ ("Работающие часы показывают время") ;

2) (28 > 7) И (300/5 = 60) ;

3) ("Телевизор - электрический прибор") И ("Стекло - дерево") ;

4) Не((300 > 100) ИЛИ ("Жажду можно утолить водой")) ;

5) (75 < 81) → (88 = 88) .

Пример 4. Запишите с помощью логических операций следующие сложные высказывания и вычислите их логические значения:

1) "Если часы неправильно показывают время, то можно невовремя прийти на занятия";

2) "В зеркале можно увидеть своё отражение и Париж - столица США";

Пример 5. Определите логическое значение выражения

(p → q ) ↔ (r → s ) ,

p = "278 > 5" ,

q = "Яблоко = Апельсин" ,

p = "0 = 9" ,

s = "Шапка покрывает голову" .

Формулы логики высказываний

Понятие логической формы сложного высказывания уточняется с помощью понятия формулы логики высказываний .

В примерах 1 и 2 мы учились записывать с помощью логических операций сложные высказывания. Вообще-то они называются формулами логики высказываний.

Для обозначения высказываний, как и упомянутом примере, будем продолжать использовать буквы

p , q , r , ..., p 1 , q 1 , r 1 , ...

Эти буквы будут играть роль переменных, принимающих в качестве значений истинностные значения "истина" и "ложь". Эти переменные называются также пропозициональными переменными. Мы будем далее называть их элементарными формулами или атомами .

Для построения формул логики высказываний кроме указанных выше букв используются знаки логических операций

~, ∧, ∨, →, ↔,

а также символы, обеспечивающие возможность однозначного прочтения формул - левая и правая скобки.

Понятие формулы логики высказываний определим следуюшим образом:

1) элементарные формулы (атомы) являются формулами логики высказываний;

2) если A и B - формулы логики высказываний, то ~A , (A ∧ B ) , (A ∨ B ) , (A → B ) , (A ↔ B ) тоже являются формулами логики высказываний;

3) только те выражения являются формулами логики высказываний, для которых это следует из 1) и 2).

Определение формулы логики высказываний содержит перечисление правил образования этих формул. Согласно определению, всякая формула логики высказываний либо есть атом, либо образуется из атомов в результате последовательного применения правила 2).

Пример 6. Пусть p - одиночное высказывание (атом) "Все рациональные числа являются действительными", q - "Некоторые действительные числа - рациональные числа", r - "некоторые рациональные числа являются действительными". Переведите в форму словесных высказываний следующие формулы логики высказываний:

6) .

1) "нет действительных чисел, которые являются рациональными";

2) "если не все рациональные числа являются действительными, то нет рациональных чисел, являющихся действительными";

3) "если все рациональные числа являются действительными, то некоторые действительные числа - рациональные числа и некоторые рациональные числа являются действительными";

4) "все действительные числа - рациональные числа и некоторые действительные числа - рациональные числа и некоторые рациональные числа являются действительными числами";

5) "все рациональные числа являются действительными тогда и только тогда, когда не имеет место быть, что не все рациональные числа являются действительными";

6) "не имеет места быть, что не имеет место быть, что не все рациональные числа являются действительными и нет действительных чисел, которые являются рациональными или нет рациональных чисел, которые являются действительными".

Пример 7. Составьте таблицу истинности для формулы логики высказываний , которую в таблице можно обозначить f .

Решение. Составление таблицы истинности начинаем с записи значений ("истина" или "ложь") для одиночных высказываний (атомов) p , q и r . Все возможные значения записываются в восемь строк таблицы. Далее, определяя значения операции импликации, и продвигаясь вправо по таблице, помним, что значение равно "лжи" тогда, когда из "истины" следует "ложь".

Заметим, что никакой атом не имеет вида ~A , (A ∧ B ) , (A ∨ B ) , (A → B ) , (A ↔ B ) . Такой вид имеют сложные формулы.

Число скобок в формулах логики высказываний можно уменьшить, если принять, что

1) в сложной формуле будем опускать внешнюю пару скобок;

2) упорядочим знаки логических операций "по старшинству":

↔, →, ∨, ∧, ~ .

В этом списке знак ↔ имеет самую большую область действия, а знак ~ - самую маленькую. Под областью действия знака операции понимаются те части формулы логики высказываний, к которым применяется (на которые действует) рассматриваемое вхождение этого знака. Таким образом, можно опускать во всякой формуле те пары скобок, которые можно восстановить, учитывая "порядок старшинства". А при восстановлении скобок сначала расставляются все скобки, относящиеся ко всем вхождениям знака ~ (при этом мы продвигаемся слева направо), затем ко всем вхождениям знака ∧ и так далее.

Пример 8. Восстановите скобки в формуле логики высказываний B ↔ ~ C ∨ D ∧ A .

Решение. Скобки восстанавливаются пошагово следующим образом:

B ↔ (~ C ) ∨ D ∧ A

B ↔ (~ C ) ∨ (D ∧ A )

B ↔ ((~ C ) ∨ (D ∧ A ))

(B ↔ ((~ C ) ∨ (D ∧ A )))

Не всякая формула логики высказываний может быть записана без скобок. Например, в формулах А → (B → C ) и ~ (A → B ) дальнейшее исключение скобок невозможно.

Тавтологии и противоречия

Логические тавтологии (или просто тавтологии) - это такие формулы логики высказываний, что если буквы произвольным образом заменить высказываниями (истинными или ложными), то в результате всегда получится истинное высказывание.

Так как истинность или ложность сложных высказываний зависит лишь от значений, а не от содержания высказываний, каждому из которых соответствует определённая буква, то проверку того, является ли данное высказывание тавтологией, можно подставить следующим способом. В исследуемом выражении на место букв подставляются значения 1 и 0 (соответственно "истина" и "ложь") всеми возможными способами и с использованием логических операций вычисляются логические значения выражений. Если все эти значения равны 1, то исследуемое выражение есть тавтология, а если хотя бы одна подстановка даёт 0, то это не тавтология.

Таким образом, формула логики высказываний, которая принимает значение "истина" при любом распределении значений входящих в эту формулу атомов, называется тождественно истинной формулой или тавтологией .

Противоположный смысл имеет логическое противоречие. Если все значения высказываний равны 0, то выражение есть логическое противоречие.

Таким образом, формула логики высказываний, которая принимает значение "ложь" при любом распределении значений входящих в эту формулу атомов, называется тождественно ложной формулой или противоречием .

Кроме тавтологий и логических противоречий существуют такие формулы логики высказываний, которые не являются ни тавтологиями, ни противоречиями.

Пример 9. Составьте таблицу истинности для формулы логики высказываний и определите, является ли она тавтологией, противоречием или ни тем, ни другим.

Решение. Составляем таблицу истинности:

В значениях импликации не встречаем строку, в которой из "истины" следует "ложь". Все значения исходного высказывания равны "истине". Следовательно, данная формула логики высказываний является тавтологией.

        Основным понятием математической логики является понятие «простого высказывания». Под высказыванием обычно понимают всякое повествовательное предложение, утверждающее что-либо о чем-либо, и при этом мы можем сказать, истинно оно или ложно в данных условиях места и времени. Логическими значениями высказываний являются «истина» и «ложь».

        Примеры высказываний.
        1) Москва стоит на Неве.
        2) Лондон - столица Англии.
        3) Сокол не рыба.
        4) Число 6 делится на 2 и на 3.

        Высказывания 2), 3), 4) истинны, а высказывание 1) ложно.
        Очевидно, предложение «Да здравствует Россия!» не является высказыванием.
        Различают два вида высказываний.
        Высказывание, представляющее собой одно утверждение, принято называть простым или элементарным. Примерами элементарных высказываний могут служить высказывания 1) и 2).
        Высказывания, которые получаются из элементарных с помощью грамматических связок «не», «и», «или», «если.... то...», «тогда и только тогда», принято называть сложными или составными.
        Так, высказывание 3) получается из простого высказывания «Сокол - рыба» с помощью отрицания «не», высказывание 4) образовано из элементарных высказываний «Число 6 делится на 2», «Число 6 делится на З», соединенных союзом «и».
        Аналогично сложные высказывания могут быть получены из простых высказываний с помощью грамматических связок «или», «тогда и только тогда».
        В алгебре логики все высказывания рассматриваются только с точки зрения их логического значения, а от их житейского содержания отвлекаются. Считается, что каждое высказывание либо истинно, либо ложно и ни одно высказывание не может быть одновременно истинным и ложным.
        Элементарные высказывания обозначаются малыми буквами латинского алфавита: х, у, z, ..., а, b, с, ...; истинное значение высказывания цифрой 1, а ложное значение - буквой цифрой 0.
        Если высказывание а истинно, то будем писать а = 1 , а если а ложно, то а = 0 .

Логические операции над высказываниями

Отрицание.

        Отрицанием высказывания х называется новое высказывание x , которое является истинным, если высказывание х ложно, и ложным, если высказывание х истинно.
        Отрицание высказывания х обозначается x читается «не х» или «неверно, что х» .
        Логические значения высказывания x можно описать с помощью таблицы.

        Таблицы такого вида принято называть таблицами истинности.
        Пусть х высказывание. Так как x также является высказыванием, то можно образовать отрицание высказывания x , то есть высказывание , которое называется двойным отрицанием высказывания х . Ясно, что логические значения высказываний х и совпадают.
        Например, для высказывания «Путин президент России» отрицанием будет высказывание «Путин не президент России», а двойным отрицанием будет высказывание «Неверно, что Путин не президент России».

Конъюнкция.

        Конъюнкцией (логическим умножением) двух высказываний х и у называется новое высказывание, которое считается истинным, если оба высказывания х и у истинны, и ложным, если хотя бы одно из них ложно.
        Конъюнкция высказываний х и у обозначается символом х&у (x∧y, ху) , читается «х и у» . Высказывания х и у называются членами конъюнкции.
        Логические значения конъюнкции описываются следующей таблицей истинности:

        Например, для высказываний «6 делится на 2», «6 делится на 3» их конъюнкцией будет высказывание «6 делится на 2 и 6 делится на 3», которое, очевидно, истинно.
        Из определения операции конъюнкции видно, что союз «и» в алгебре логики употребляется в том же смысле, что и в повседневной речи. Но в обычной речи не принято соединять союзом «и» два высказывания далеких друг от друга по содержанию, а в алгебре логики рассматривается конъюнкция двух любых высказываний.

Дизъюнкция

        Дизъюнкцией (логическим сложением) двух высказываний х и у называется новое высказывание, которое считается истинным, если хотя бы одно из высказываний х, у истинно, и ложным, если они оба ложны. Дизъюнкция высказываний х, у обозначается символом «x V у» , читается «х или у» . Высказывания х, у называются членами дизъюнкции.
        Логические значения дизъюнкции описываются следующей таблицей истинности:

        В повседневной речи союз «или» употребляется в различном смысле: исключающем и не исключающем. В алгебре логики союз «или» всегда употребляется в не исключающем смысле.

Импликация.

        Импликацией двух высказываний х и у называется новое высказывание, которое считается ложным, если х истинно, а у - ложно, и истинным во всех остальных случаях.
        Импликация высказываний х, у обозначается символом x→y , читается «если х, то у» или «из х следует у». Высказывание х называют условием или посылкой, высказывание у - следствием или заключением, высказывание x→y следованием или импликацией.
        Логические значения операции импликации описываются следующей таблицей истинности:

        Употребление слов «если.... то...» в алгебре логики отличается от употребления их в обыденной речи, где мы, как правило, считаем, что, если высказывание х ложно, то высказывание «Если х, то у» вообще не имеет смысла. Кроме того, строя предложение вида «если х, то у» в обыденной речи, мы всегда подразумеваем, что предложение у вытекает из предложения х . Употребление слов «если..., то...» в математической логике не требует этого, поскольку в ней смысл высказываний не рассматривается.
        Импликация играет важную роль в математических доказательствах, так как многие теоремы формулируются в условной форме «Если х, то у». Если при этом известно, что х истинно и доказана истинность импликации x→y , то мы вправе сделать вывод об истинности заключения у .

Эквивалентность.

        Эквивалентностью двух высказываний х и у называется новое высказывание, которое считается истинным, когда оба высказывания х, у либо одновременно истинны, либо одновременно ложны, и ложным во всех остальных случаях.
        Эквивалентность высказываний х, у обозначается символом x↔y , читается «для того, чтобы х, необходимо и достаточно, чтобы у» или «х тогда и только тогда, когда у». Высказывания х, у называются членами эквивалентности.
        Логические значения операции эквивалентности описываются следующей таблицей истинности:

        Эквивалентность играет важную роль в математических доказательствах. Известно, что значительное число теорем формулируется в форме необходимых и достаточных условий, то есть в форме эквивалентности. В этом случае, зная об истинности или ложности одного из двух членов эквивалентности и доказав истинность самой эквивалентности, мы зак­лючаем об истинности или ложности второго члена эквивалентности.

Афоризм - что это? Каждый из нас слышал это слово, но не каждый может объяснить, в чем заключается его смысл. Ежедневно мы сталкиваемся с афоризмами в литературе, кинематографе и в быту; мы употребляем их в речи, даже не осознавая того. Поэтому следует разобраться в значении данного понятия.

Что такое афоризмы?

Афоризмы - это крылатые фразы, устойчивые словосочетания, сказанные кем-либо, чаще всего придуманные поэтами или писателями. Это те высказывания, которые стали популярными среди населения и часто употребляются как единое лексическое целое, без отрыва отдельных слов. Примером афоризма является выражение М. Жванецкого: "В историю трудно войти, но легко вляпаться".

Происхождение термина "афоризм"

Термин "афоризм" произошел от греческого слова, которое переводится как "определение". И действительно, это определение того или иного действия, поступка, чувства, события, облаченное в литературное высказывание.

Афоризм - это оригинальная мысль, которая характеризуется логической завершенностью. Такие выражения легко запоминаются, благодаря своей четкости и лаконичности, многократно повторяются людьми. Зачастую афоризм состоит из 3-5 слов, но встречаются и более развернутые высказывания.

Примером краткого афоризма является популярное выражение Френсиса Бэкона: "Знание - сила". Оно как нельзя точнее поясняет важность и значение знаний в жизни человечества.

Откуда берутся афоризмы

Зачастую афоризмы проникают в нашу речь из искусства: литературы, кино, театра. Большинство таких выражений имеет своего автора. Множество афоризмов было придумано писателями, поэтами, сценаристами, актерами, философами и мыслителями.

Известными мировыми "творцами" афоризмов являются средневековый философ из Тибета Сакья-пандита, писатели Шота Руставели, Хуан Мануэль Франсуа де Ларошфуко, Михаил Туровский, Бернард Шоу.

В числе этих известных людей по праву находится артистка театра и кино Фаина Раневская, чьи колкие и острые высказывания, лаконичные суждения, меткие фразы заслужили всенародную любовь и известность. Их постоянно цитируют даже те, кто совершенно не знаком с творчеством Фаины Георгиевны. Примеры афоризмов, принадлежащих этой замечательной актрисе: "Если больной очень хочет жить, врачи бессильны", "Спутник славы - одиночество", "Женщины - это не слабый пол. Слабый пол - это гнилые доски".

Не случайно говорят, что афоризмы - это мудрость народа. Многие из них произошли стихийно: кто-то произнес острую и меткую фразу, другой повторил ее, и так по цепочке, пока выражение не преобразовалось в афоризм. Примеры афоризмов, зародившихся таким образом: "Уходя, гасите свет", "Даром - за амбаром".

Примеры афоризмов в литературе

Что такое литературный афоризм? Очень часто люди путают афоризмы и цитаты. Действительно, эти два понятия очень похожи. И зачастую цитата может являться афоризмом, а афоризм - выдержкой из произведения, то есть цитатой. Следует помнить, что цитирование - это дословное повторение отрывка из литературного произведения или, например, кинофильма. То есть цитата - это фраза, которая является дословной выдержкой из текста без каких-либо изменений. Афоризм же - это лаконичная и законченная мысль, фраза, наиболее точно и метко определяющая содержание высказывания.

Широко применение афоризмов в российской и зарубежной классике. Сами по себе афоризмы являются малой формой литературного искусства. Многие из них зародились в литературных произведениях.

К примеру, название романа А. С. Грибоедова "Горе от ума" само по себе является афоризмом. А выражение "Счастливые часов не наблюдают" было впервые употреблено классиком в этом же романе. Известнейший афоризм "Мы в ответе за тех, кого приручили" родился в произведении Антуана де Сент-Экзюпери "Маленький принц".

Другой пример афоризма - фраза, которую часто употребляют в бытовом разговоре: «Жениться - это вам не в баню сходить». Она принадлежит перу Н. В. Гоголя.

А. П. Чехову принадлежит знаменитый афоризм "Краткость - сестра таланта". Именно такие лаконичные и меткие высказывания, которые как нельзя точнее описывают суть происходящего, выражают законченную мысль и переходят в разряд афоризмов.

Примеры афоризмов из басен Крылова

Богаты афоризмами ироничные басни Ивана Андреевича Крылова. В каждом его произведении спрятан не только глубокий смысл и мораль, но и множество метких высказываний, которые мы употребляем в повседневной жизни.

Примеры афоризмов из басен Крылова И. А. (наиболее известные):

• А ларчик просто открывался (басня "Ларчик"). Выражение, которое означает, что решение проблемы было гораздо проще, чем это казалось на первый взгляд.
• Рыльце у тебя в пуху (басня "Лисица и Сурок"). Этот афоризм означает, что человек совершил плохой поступок.
• А Васька слушает да ест (басня "Кот и Повар"). Данный афоризм означает, что человек слушает, но не воспринимает информацию, не делает выводов.
• Не плюй в колодец (басня "Лев и Мышь").
• Попрыгунья Стрекоза лето красное пропела.

Невозможно представить речь современного человека без афоризмов. В общении с друзьями, коллегами, родными мы очень часто, сами того не замечая, произносим известные и устойчивые словосочетания, и они делают нашу речь ярче, богаче и интереснее.